#数学基础/矢量，向量 #数学基础/坐标系

1.1 矢量代数

《电磁场与电磁波》（谢处方）中用 $\vec e_A$ 表示与$\vec A$同方向的单位矢量

矢量乘法

1. 点乘： $\vec A\cdot \vec B=ABcos\theta$ ，服从交换律，分配律，不服从几何律（ $\vec A \cdot \vec B \cdot \vec C\neq \vec B \cdot \vec C \cdot \vec A$ ）
2. 叉乘： $\vec A \times \vec B=\vec e_nABsin\theta，\vec e_n$ 通过右手螺旋确定，仅服从分配律（ $\vec A \times (\vec B+ \vec C)=\vec A \times \vec B+ \vec A \times \vec C$ )
   有变换： $\vec A \times \vec B = -\vec B \times \vec A$

3. 标量三重积： $\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)=\vec B \cdot (\vec C \times \vec A)=\vec C \cdot (\vec A \times \vec B)$ ，满足A→B→C顺序关系
4. 矢量三重积 ： $\vec A \times (\vec B \times \vec C)=\vec B (\vec A \cdot \vec C)-\vec C (\vec A \cdot \vec B)$ ，拿出（）中的矢量，剩余量点乘，前正后负
   注意矢量三重积的括号在后，不能换位置！
   例：
   $\vec A \times \vec B \times \vec C=(\vec A \times \vec B )\times \vec C=-\vec A \times (\vec B \times \vec C)$

三种常用的正交曲线坐标系与拉梅系数

#数学基础/坐标系/拉梅系数

直角坐标系

坐标变量变化范围： $-\infty \lt x \lt \infty ,-\infty \lt y \lt \infty ,-\infty \lt z \lt \infty$

1. 拉梅系数： $h_x=1,h_y=1,h_z=1$
2. 位置矢量： $\vec r = |\vec r|\vec e_r$， $\vec e_r=\vec e_xcos\alpha+\vec e_ycos\beta+\vec e_zcos\gamma$
3. 点乘： $\vec A \cdot \vec B =A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$
4. 叉乘：

$$\vec A \times \vec B= \begin{vmatrix} \vec e_x&\vec e_y&\vec e_z \\\ A_x& A_y& A_z \\\ B_x& B_y& B_z\end{vmatrix}=\vec e_x(A_yB_z-A_zB_y)-\vec e_y(A_x B_z-A_zB_x)+\vec e_z(A_xB_y-A_yB_x)$$

(满足顺序x→y→z的为正，不满足为负)

圆柱坐标系

坐标变量变化范围： $0\leq \rho \lt \infty ,0\leq \phi \leq 2\pi ,-\infty \lt z \lt \infty$ ， $\phi$ 以x轴为基准

1. 拉梅系数： $h_\rho=1,h_\phi=\rho,h_z=1$
2. 位置矢量： $\vec r=\vec e_\rho+\vec e_zz$
3. 注意： $\vec e_\rho,\vec e_\phi$ 是随 $\phi$ 变化的！！！（ $\vec e_\rho$ 与 $\rho$ 平面平行， $\vec e_\phi$ 与 $\rho$ 平面垂直，而 $\rho$ 平面受 $\phi$ 角影响），不同 $\rho$ 平面的矢量不能直接计算、
4. 矢量的转化（圆柱→直角）

$$\begin{matrix} \vec e_\rho \\\ \vec e_\phi \\\ \vec e_z \\\ \end{matrix}=\begin{matrix} & \left( \begin{matrix} cos\phi\\\ -sin\phi \\\ 0 \end{matrix} \right. & \left. \begin{matrix} sin\phi \\\ cos\phi \\\ 0 \end{matrix} \right. & \left. \begin{matrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{matrix} \right) \\\ \end{matrix} \left(\begin{matrix} \vec e_x \\\ \vec e_y \\\ \vec e_z \\\ \end{matrix}\right)$$

具体推导过程：

有 $x=\rho cos\phi,y=\rho sin\phi$ ，则 $x^2+y^2=\rho^2$
$e_\phi$ 与 $e_\rho$ 正交，有 $e_\phi \cdot e_\rho=0$ ，且 $e_\rho=ae_x+be_y$ ???疑惑，继续思考

球坐标系

坐标变量变化范围： $0\leq r \lt \infty,0\leq \theta \leq \pi,\leq \phi \leq 2\pi$ ， $\theta$ 以z轴为基准， $\phi$ 以x轴为基准

1. 拉梅系数： $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=rsin\theta$
2. 位置矢量： $\vec r = \vec e_rr$ ，$\vec e_r$ 也是变量！
3. 矢量的转化（球→直角）：

$$\begin{matrix} \vec e_r \\\ \vec e_\theta \\\ \vec e_\phi \\\ \end{matrix}=\begin{matrix} & \left( \begin{matrix} sin\theta cos\phi\\\ cos\theta cos\phi \\\ -sin\phi \end{matrix} \right. & \left. \begin{matrix} sin\theta sin\phi \\\ cos\theta sin\phi \\\ cos\phi \end{matrix} \right. & \left. \begin{matrix} cos\theta \\\ -sin\theta \\\ 0 \end{matrix} \right) \\\ \end{matrix} \left(\begin{matrix} \vec e_x \\\ \vec e_y \\\ \vec e_z \\\ \end{matrix}\right)$$

拉梅系数

用于统一各坐标系（统一度量衡！！！），在计算面积、体积元，梯度、散度、旋度等时非常便利

对于由abc三个自由度组成的三维坐标系，有：

1. 面积元： $dS_a=h_bh_c\mathrm{d}b\mathrm{d}c,dS_b=h_ah_c\mathrm{d}a\mathrm{d}c...$
2. 体积元： $dV=h_ah_bh_c\mathrm{d}a\mathrm{d}b\mathrm{d}c$
3. 梯度： $\mathrm{grad}u=\nabla u=\frac{1}{H_a}\vec e_a \frac{\partial u}{\partial a}+\frac{1}{H_b}\vec e_b \frac{\partial u}{\partial b}+\frac{1}{H_c}\vec e_c \frac{\partial u}{\partial c}$

直角坐标：$h_\rho=1,h_y=1,h_z=1$

求解过程：
$h_x=\frac{\Delta l}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}...$

圆柱坐标：$h_\rho=1,h_\phi=\rho,h_z=1$

求解过程：
$h_\phi = \frac{\Delta l}{\Delta \phi}=\frac{\rho \Delta \phi}{\Delta \phi}=\rho$

球坐标： $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=rsin\theta$

求解过程：
$h_\theta = \frac{\Delta l}{\Delta \theta}=\frac{r \Delta \theta}{\Delta \theta}=r$
$h_\phi = \frac{\Delta l}{\Delta \phi}=\frac{rsin\theta \Delta \phi}{\Delta \phi}=rsin\theta$

标量场的方向导数与梯度

对于标量场u，直角坐标系表示：$u=u(x,y,z,t)$，位置矢量表示：$u=u(\vec r,t)$
方向导数反映变化率，梯度反映最大变化率

等值面

等值面：数值相同的点构成的曲面
对于常数c， $u(\vec r)=c$ 表示对应的等值面
特点：

1. 等值面族充满场所在的整个空间
2. 等值面互不相交

方向导数（标量）

方向导数：
$\frac{ \partial u}{ \partial l}|_{M_0}=lim{\Delta l→0}\frac{u(M)-u(M_0)}{\Delta l}$ ，表示标量场 $u(M)$ 在点 $M_0$ 处沿 $\vec l$ 方向对距离的变化率

曲面上过某一点切线方向的变化率就是方向导数
（曲面上某一点可以对应无数个方向导数）

梯度（矢量）

定义 $\mathrm{grad} u$ 的方向为标量场u在点M处变化率最大的方向，$|\mathrm{grad} u|$ 即为最大的变化率（梯度总是指向标量函数增加的方向）
哈密顿算子： $\nabla=\frac{1}{h_{1}}\vec e_1 \frac{\partial}{\partial a_1}+\frac{1}{H_2}\vec e_2 \frac{\partial}{\partial a_2}+\frac{1}{H_3}\vec e_3 \frac{\partial}{\partial a_3}$
有 $\mathrm{grad}u=\nabla u=\frac{1}{h_{1}}\vec e_1 \frac{\partial u}{\partial a_1}+\frac{1}{H_2}\vec e_2 \frac{\partial u}{\partial a_2}+\frac{1}{H_3}\vec e_3 \frac{\partial u}{\partial a_3}$
[[1矢量分析#拉梅系数|拉梅系数H]]

引入拉梅系数的推导过程：
对于 $u(a_1,a_2,a_3)→u(a_1+\Delta a_1,a_2+\Delta a_2,a_3+\Delta a_3)$ ，有 $\Delta l =(\Delta a_1,\Delta a_2,\Delta a_3)$ ，
则有$\frac{\Delta u}{\Delta l}=\frac{u(a_1+\Delta a_1,...)-u(a_1,...)}{(\Delta a_1,\Delta a_2,\Delta a_3)}$ ，相当于对 $u$ 求全微分
所以 $\frac{\Delta u}{\Delta l}=\frac{\partial u}{\partial a_1}\frac{\partial a_1}{\partial l}+\frac{\partial u}{\partial a_2}\frac{\partial a_2}{\partial l}+\frac{\partial u}{\partial a_3}\frac{\partial a_3}{\partial l}$ ，且 $\frac{ h_1\partial a_1}{\partial l}=cos\alpha$
由此有 $\frac{\Delta u}{\Delta l}=(\frac{\partial u}{h_1\partial a_1}\vec e_1...)\cdot (cos\alpha \vec e_1...)=\nabla u \cdot \vec e_l$
可得 $\nabla u=\frac{1}{h_{1}}\vec e_1 \frac{\partial u}{\partial a_1}+\frac{1}{H_2}\vec e_2 \frac{\partial u}{\partial a_2}+\frac{1}{H_3}\vec e_3 \frac{\partial u}{\partial a_3}$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-20 10.44.11.excalidraw|300]]

梯度符合如下运算规则（与求导法则相同！）：

1. $\nabla (cu)=c\nabla u$ ，c为常数
2. $\nabla (u\pm v)=\nabla u \pm \nabla v$
3. $\nabla (uv)=v\nabla u + u\nabla v$
4. $\nabla (\frac{u}{v})=\frac{1}{v^2}(v\nabla u - u\nabla v)$
5. $\nabla f(u)=f\prime (u)\nabla u$

常用公式（重要！！！）：

1. $\Delta R = \frac{\vec R}{R}$
2. $\Delta \frac{1}{R} = -\frac{\vec R}{R^3}$
3. $\nabla f(u)=-\nabla \prime f(u)$ ，其中 $\nabla \prime=\frac{1}{H_a}\vec e_a \frac{\partial}{\partial a\prime}+\frac{1}{H_b}\vec e_b \frac{\partial}{\partial b\prime}+\frac{1}{H_c}\vec e_c \frac{\partial}{\partial c\prime}$

梯度有以下特点：

1. 标量场的梯度构成矢量场（梯度场）
2. 标量场在给定点M出沿任意方向 $\vec e_l$ 的方向导数等于该点的梯度 $\nabla u$ 在方向 $\vec e_l$ 上的投影
3. 标量场在点M处的梯度垂直与等值面，且指向 $u(M)$ 增加的方向

这里的场u是标量场，计算时记得转换！！！
例：
已知 $\vec R=\vec e_x(x-x\prime)+\vec e_y(y-y\prime)+\vec e_z(z-z\prime)$ ， $R=|\vec R|$ ，证明 $\nabla R=\frac{\vec R}{R}$

$$\nabla R = \nabla (\sqrt{(x-x\prime)^2+(y-y\prime)^2+(z-z\prime)^2})=....$$

矢量场的通量与散度

矢量场可以表示为 $\vec F=\vec F(\vec r,t)$
产生的矢量场的矢量线不是闭合曲线的源成为散度源，通量与散度描述通量源的性质

矢量线

矢量线上每一点的切线方向代表了该点矢量场 $\vec F(\vec r)$ 的方向
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-20 13.17.15.excalidraw|300]]
矢量线的微分方程： $\mathrm d\vec r \times \vec F=0$ （由上图中 $\mathrm d\vec r , \vec F$ 共线可得）
（矢量线微分方程的拉梅系数表示有无？） ^e240a0

例：
对位于坐标原点的点电荷q，在周围空间任一点 $M(x,y,z)$ 处产生的电场强度矢量 $E=\frac{q}{4\pi\varepsilon r^3}\vec r$ ，其中 $\varepsilon$ 为介电常数， $\vec r=\vec e_xx+\vec e_yy+\vec e_zz$ ，求电场强度矢量 $E$ 的矢量线。

通量

通量表述通过某一曲面S的矢量线数量

定义式： $\Phi=\int_S \vec F\cdot \mathrm d\vec S$ ， $\Phi$ 即为通量
例如，磁通量就是磁感强度B在曲面S上的面积分

对于闭曲面，当 $\Phi>0$ 时，曲面内必有发出矢量线的源……

散度

定义

由于通量只能反映某一区域的特性，缩小到某一点上并不确定，我们利用极限，引入散度。
定义式： $\vec \nabla \cdot \vec F =\mathrm{div}\vec F=lim_{\Delta V→0}\dfrac{\oint\vec F \cdot \mathrm d\vec S}{\Delta V}$
计算式：

$$\begin{aligned} \vec \nabla \cdot \vec F =\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\left(\dfrac{\partial(F_1h_2h_3)}{\partial a_1}+\dfrac{\partial(F_2h_3h_1)}{\partial a_2}+\dfrac{\partial(F_3h_1h_2)}{\partial a_3}\right) \end{aligned}$$

常用公式：

1. $\vec \nabla (C\vec F)=C\vec\nabla\cdot\vec F$ （C为常数）
2. $\vec \nabla (u\vec F)=u\vec\nabla\cdot\vec F+\vec F\cdot\vec\nabla u$ （$\vec\nabla$ 具有矢量性和微分性，微分性使其分别作用在标量场 $u$ 和矢量场 $\vec F$ 上，矢量性使计算过程中点乘保留）
3. $\vec \nabla (\vec F \pm \vec G)=\vec\nabla\cdot\vec F \pm\vec\nabla\cdot\vec G$

计算式推导过程：
利用向前差分

$$\begin{aligned} &有\Delta V=h_1\Delta a_1~h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3 ,\\\ &\int_{front}\vec F\cdot\mathrm d\vec S\approx\vec F(a_1+\Delta a_1,a_2,a_3)~h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3 \qquad \int_{behind}\vec F\cdot\mathrm d\vec S\approx-\vec F(a_1,a_2,a_3)~h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3...\\\ &所以 \Phi=\oint_S\vec F \cdot\mathrm d\vec S=\int_{front}+\int_{behind}+...\\\ &\vec \nabla \cdot \vec F=lim_{\Delta V→0}\dfrac{\Phi}{\Delta V}\\\ &=lim_{\Delta V→0}\dfrac{\vec F(a_1+\Delta a_1,a_2,a_3)~h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3-\vec F(a_1,a_2,a_3)~h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3+...}{h_1\Delta a_1~h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3}\\\ &=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\left(lim_{\Delta V→0}\dfrac{\vec F(a_1+\Delta a_1,a_2,a_3)-\vec F(a_1,a_2,a_3)}{\Delta a_1}+lim_{\Delta V→0}...\right)\\\ &=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\left(\dfrac{\partial(F_1h_2h_3)}{\partial a_1}+\dfrac{\partial(F_2h_3h_1)}{\partial a_2}+\dfrac{\partial(F_3h_1h_2)}{\partial a_3}\right) \end{aligned}$$

$\vec \nabla \cdot \vec F$ 描述了通量源的密度，其正负与通量源的关系如下：

散度定理

$$\int_V\vec \nabla\cdot\vec FdV=\oint_S\vec F\cdot\mathrm d\vec S\left(\int_V通量密度(散度)\cdot \mathrm d体积= 通量\right)$$

矢量场的环流与旋度

产生矢量场的矢量线是闭合曲线的源是旋度源，环流与旋度描述涡旋源的性质

环流

因为要描述的是闭合曲线，若用通量的方法取曲面，计算密度时，曲线一出一进会相互抵消，所以作曲线C，表述通过某一曲线C的矢量线数量

定义式： $\Gamma=\oint_C\vec F \cdot \mathrm d\vec l$

旋度

定义

与散度类似，由于环流只能反映某一区域的特性，缩小到某一点上并不确定，所以定义旋度描述环流密度
定义式： $\vec \nabla \times \vec F =\mathrm{rot}\vec F=lim_{\Delta S→0}\dfrac{\oint\vec F \cdot \mathrm d\vec l}{\Delta S}$
计算式：

$$\begin{aligned} \vec \nabla \times \vec F&=\dfrac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1\vec e_1&h_2\vec e_2&h_3\vec e_3\\\ \dfrac{\partial}{\partial a_1}&\dfrac{\partial}{\partial a_2}&\dfrac{\partial}{\partial a_3} \\\ h_1F_1&h_2F_2&h_3F_3 \\\ \end{vmatrix}\\\ &=\vec e_1\dfrac{1}{h_2h_3}\left(\dfrac{\partial h_3F_3}{\partial a_2}-\dfrac{\partial h_2F_2}{\partial a_3}\right)+\vec e_2\dfrac{1}{h_3h_1}... \end{aligned}$$

（$\vec e$ 与偏导变量 $a$ 满足1→2→3顺序的为正，不满足为负）

常用公式：

1. $\vec \nabla(u\vec F)=u\vec\nabla \times \vec F-\vec F\times \vec \nabla u$ （$\vec\nabla$ 具有矢量性和微分性，微分性使其分别作用在标量场 $u$ 和矢量场 $\vec F$ 上，矢量性使计算过程中叉乘保留，同时，叉乘两项位置交换后添加负号）

$$\begin{aligned} \vec\nabla \cdot (\vec F\times \vec G)&=\vec G\cdot(\vec \nabla \times \vec F)\\\ &=\vec F\cdot(\vec G \times \vec \nabla)=-\vec F\cdot(\vec \nabla \times \vec G)(\nabla为算符，应写在前面，所以交换顺序加负号) \end{aligned}$$

3. $\vec \nabla \times(\vec \nabla \times \vec F)=\vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec F)-\nabla^2\vec F(\vec \nabla \cdot \vec \nabla=\nabla^2,算符写在前面)$
4. $\vec \nabla \cdot(\vec \nabla \times \vec F)\equiv0$
5. $\vec \nabla \times(\vec \nabla u)\equiv0$

计算式推导过程：

$$\begin{aligned} &因为所取h\Delta a很小，所以可以把矢量线压缩到矢量的起点\\\ &有\Delta S=h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3\\\ &\int_{left}\vec F\cdot\mathrm d\vec l=-\vec F_3(a_1,a_2,a_3)~h_3\Delta a_3 \qquad\int_{right}\vec F\cdot\mathrm d\vec l=\vec F_3(a_1,a_2+\Delta a_2,a_3)~h_3\Delta a_3\\\ &\int_{down}\vec F\cdot\mathrm d\vec l=\vec F_2(a_1,a_2,a_3)~h_2\Delta a_2 \qquad\int_{up}\vec F\cdot\mathrm d\vec l=-\vec F_2(a_1,a_2,a_3+\Delta a_3)~h_2\Delta a_2\\\ &\Gamma=\oint_C \vec F\cdot\mathrm d\vec l=\int_{down}+\int_{up}+...\\\ &\mathrm{div}\vec F_1 =\vec e_1lim_{\Delta S→0}\dfrac{\Gamma}{\Delta S}\\\ &=\vec e_1lim_{\Delta S→0}\dfrac{h_3\Delta a_3\left[\vec F_3(a_1,a_2+\Delta a_2,a_3)-\vec F_3(a_1,a_2,a_3)\right]}{h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3}\\\ &+\vec e_1lim_{\Delta S→0} \dfrac{h_2\Delta a_2\left[\vec F_2(a_1,a_2,a_3)-\vec F_2(a_1,a_2,a_3+\Delta a_3)\right]}{h_2\Delta a_2~h_3\Delta a_3}\\\ &=\dfrac{\vec e_1}{h_2h_3}\left(\dfrac{h_3\partial \vec F_3}{\partial a_2}-\dfrac{h_2\partial \vec F_2}{\partial a_3}\right) \end{aligned}$$

旋度定理（斯托克斯定理）

$$\int_S \vec \nabla \times \vec F \cdot \mathrm d\vec S=\oint_C \vec F \cdot \mathrm dl\left(\int_S旋度(环流面密度)\mathrm d S=环流\right)$$

无旋场与无散场

无旋场：仅有散度源而无旋度源的矢量场( $\vec \nabla \cdot \vec F \ne 0,\vec \nabla \times \vec F \equiv 0$ )
性质：保守场， $\oint_C \vec F \cdot \mathrm d \vec l =0$
可以用标量场的梯度表示： $\vec F=-\nabla u$

无散场：仅有旋度源而无散度源的矢量场（ $\vec \nabla \cdot \vec F \equiv 0,\vec \nabla \times \vec F \ne 0$ ）
可以用其他矢量场的旋度表示： $\vec F=\vec \nabla \times \vec A$

亥姆霍兹定理

$\vec F(\vec r)=-\vec \nabla u(\vec r)+\vec \nabla \times \vec A(\vec r)$
这表明，有限空间内，任意矢量场可以由散度和旋度唯一表示