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信号：输入输出
系统：处理与响应部分

1.1信号的描述，分类与典型示例

分类

确定信号：可以表示为一确定的时间函数的信号
随机信号：没有确切的时间函数的信号

周期性信号/非周期信号

连续时间信号：除若干不连续点外，对任意时间值都有确切函数值的信号
离散时间信号：在时间上离散，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值的信号
模拟信号：时间和幅值均连续
抽样信号：时间离散，幅值连续
数字信号：时间和幅值均离散
![[Pasted image 20250218165726.png|400]]

典型信号示例

指数信号

![[Pasted image 20250218165905.png|500]]

表达式： $f(t)=Ke^{at}$
时间常数 $\tau=\frac{1}{|a|}$ ，反应信号变化速率， $\tau$ 越大，速率越慢。
对于 $f(t)=e^{-\frac{t}{\tau}}$ 有 $f(\tau)=0.368$

特性：其对时间的微积分仍是指数形式

正弦信号

![[Pasted image 20250220132822.png|500]]

表达式： $f(t)=Ksin(\omega t+\theta)$
角频率 $\omega=2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

特性：其对时间的微积分仍是同频率正弦形式

复指数信号

表达式： $f(t)=Ke^{st},s=\sigma +j\omega$ ，将复数作为指数信号的指数因子
根据 [[1 复数与复变函数#^485c65|欧拉公式]] ，上式可变化为 $f(t)=Ke^{\sigma t}cos(\omega t)+jKe^{\sigma t}sin(\omega t)$

变化情况受 $\sigma$ 的正负影响， $\sigma>0$ 则增幅振荡， $\sigma <0$ 则衰减振荡
![[Pasted image 20250221161009.png|300]]

Sa(t)信号（抽样信号）

![[Pasted image 20250220222233.png|500]]

定义式： $Sa(t)=\frac{sint}{t}$ （有相似的函数 $sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$ )
特性：

$Sa(t)$ 为偶函数，且振幅逐渐衰减
$\int^{\infty}_{0}Sa(t)\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}$
$Sa(t)=1,t=0$ ， $Sa(t)=0,t=\pm k\pi$

钟形信号（高斯函数）

![[Pasted image 20250221162006.png|400]]

定义式： $f(t)=Ee^{-(\frac{t}{\tau})^2}$

有 $f(\frac{\tau}{2})=Ee^{-\frac{1}{4}}=0.78E$ ，$\tau$ 即为信号由 $E$ 下降到 $0.78E$ 时，占据的时间宽度

1.2信号的运算

移位

对自变量 $t$ 进行加减 $t_0$ 的运算（右减延迟，左增提前）
$f(t)→f(t\pm t_0)$
左增右减！！！
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 16.27.05.excalidraw|700]]

反褶

将自变量 $t$ 更换为 $-t$ 的运算（对调信号的过去和未来，反转时间轴）
$f(t)→f(-t)$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 16.33.42.excalidraw|500]]

尺度变换

对自变量 $t$ 乘系数 $a$ ，使 $f(t)$ 波形压缩（ $a>1$ ）或扩展（ $a<1$ ）
$f(t)→f(at)$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 16.51.21.excalidraw|700]]

注意：变换均基于自变量 $t$ 本身，与系数无关！！！
例：已知 $f(t)$ ，求 $f(3t+5)$

$f[3(t+\frac{5}{3})]$ ，先3倍速，再左移 $\frac{5}{3}$ （因为位移是基于原速的，这里3倍速会同时影响位移）
先左移5，再三倍速
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 17.03.37.excalidraw|600]]
（可以通过计算特殊点验证）

微分

微分表示信号随时间变化的变化率（突出函数变化的部分），如黑白图片经微分后边缘轮廓突出
$f(t)→f\prime(t)$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 17.20.05.excalidraw|200]]

积分

积分可以使突变部分变得平滑（与所围面积有关，而不仅仅关注函数值），如毛刺信号经积分后影响变小
$f(t)→\int^t_{-\infty} f(\tau)\mathrm{d}t=f^{(-1)}(t)$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 20.12.02.excalidraw|200]]

1.3奇异信号（斜变、阶跃、冲激）

奇异信号描述本身有跳变点，或导数/积分有不连续点的函数

有相互转化关系：

$$\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=u(t),\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}=\delta (t),\frac{\mathrm{d}\delta(t)}{\mathrm{d}t}=\delta\prime (t)$$

单位斜变信号

表达式、关联与作用

![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 20.35.40.excalidraw|200]]
表达式： $$f(t)=\begin{cases}0\qquad t<0\t\qquad t\geq0\end{cases}$$
引申出截平的斜边信号和三角脉冲：
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 20.38.19.excalidraw]]

单位阶跃信号

![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 21.10.01.excalidraw|300]]

表达式、关联与作用

表达式：

$$u(t)=\begin{cases} 0\qquad t<0\\\ 1\qquad t>0 \end{cases}\$\$ 在跳变点 \$t=0\$ 处，函数值未定义，也可规定为 \$\frac{1}{2}\$$$

关联：单位阶跃函数是单位斜变函数的微分： $\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=u(t)$
作用：可以将分段函数整合为一个函数，并且减少函数对自变量的限制

例题

例1： $sint(t>0)→u(t)sint$

例2：用 $u(t)$ 表示门信号 $G(t)$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 21.23.34.excalidraw|600]]

$$G(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})$$

例3：用 $u(t)$ 表示矩形脉冲 $D(t)$ （周期为T）
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 21.40.33.excalidraw|300]]

$$\begin{aligned} D(t)&=E\left[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\right]+\left[u(t+\frac{\tau}{2}+T)-u(t-\frac{\tau}{2}+T)\right]+...\\\ &=E\sum^{\infty}_{n=0}\left[u(t+\frac{\tau}{2}+nT)-u(t-\frac{\tau}{2}+nT)\right] \end{aligned}$$

例4：用 $u(t)$ 表示符号函数

$$sgn(t)=\begin{cases} 1\qquad t>0\\\ -1\qquad t<0 \end{cases}$$

![[Excalidraw/Drawing 2025-02-21 21.52.59.excalidraw]]
$sgn\left(t\right)=2u\left(t\right)-1=u\left(t\right)-u\left(-t\right)$

单位冲激信号

表达式、关联与作用

![[Excalidraw/Drawing 2025-02-22 08.56.01.excalidraw]]

表达式：

（将底为 $\tau$ ，面积为1的矩形函数压缩成一条线）

上述为通过矩形函数定义冲激函数，也可以通过三角形脉冲等定义

三角形脉冲定义：
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-22 09.09.26.excalidraw|300]]

$$\delta(t)=lim_{\tau→0}\left\{\frac{1}{\tau} \left(1-\frac{|t|}{\tau}\right) \left[u\left(t+\tau \right) -u \left(t-\tau\right) \right] \right\}$$

狄拉克定义：

$$\begin{cases} \int^\infty_{-\infty}\delta \left(t\right)\mathrm{d}t=1 \\\ \delta\left(t\right)=0\qquad(t\neq0时) \end{cases}$$

^a127a7

作用：冲激信号具有筛选（抽样）特性 ，对于延迟为 $t_0$ 的单位冲激信号，根据[[1绪论(信号与系统简介）#^a127a7|狄拉克定义]] ，有

$$\begin{aligned} \int^\infty_{-\infty}\delta (t-t_0)f(t)\mathrm dt&=\int^\infty_{-\infty}\delta (t-t_0)f(t_0)\mathrm dt=f(t_0)\int^\infty_{-\infty}\delta (t-t_0)\mathrm dt \\ &=f(t_0) \end{aligned}$$

将 $f(t_0)$ 抽样出

例题

例1：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-j\omega t}\left [\delta(t)-\delta(t-t_0)\right]\mathrm dt=e^{-j\omega\times0}-e^{-j\omega \times t_0} \end{aligned}\$\$ 例2：\$\$\begin{aligned} 令t-2t_0=\tau, 则t-t_0=\tau+t_0\\\ \int_{-\infty}^\infty u(t-2t_0)\delta(t-t_0)\mathrm dt &=\int_{-\infty}^\infty u(\tau)\delta \left[\tau-(-t_0) \right]\mathrm d\tau \\\ &=u(-t_0)\\\ \end{aligned}$$

冲激偶信号

1.4信号的分解

直流分量与交流分量

信号的直流分量为信号的平均值，其余部分为交流分量（交流分量的积分为0）
表达式： $f(t)=f_D+f_A(t)$
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-26 22.48.00.excalidraw|600]]

偶分量与奇分量

任意函数都可以分解为奇函数与偶函数的和
表达式：偶分量： $f_e(t)=f_e(-t)$ ，奇分量： $f_o(t)=-f_o(-t)$

推导过程：

$$\begin{aligned} 定义f_e(t)=f(t)+f(-t),f_o(t)=f(t)-f(-t) \\\ 则f(t)=\frac{1}{2}\left[f_e(t)+f_o(t)\right] \end{aligned}$$

脉冲分量

矩形窄脉冲分量

$$\begin{aligned} &对于t_1→t_1+\Delta t_1范围的单个矩形脉冲，有表达式 f(t_1)\left[u(t-t_1)-u(t-t_1-\Delta t_1)\right]\\\ &将f(t)看作无数个脉冲的集合，那么有\\\ f(t)&=\sum^{\infty}_{t_1=-\infty}f(t_1) \cdot \left[u(t-t_1)-u(t-t_1-\Delta t_1)\right]\\\ &取\Delta t_1→0的极限，通过简单变换，有\\\ f(t)&=lim_{\Delta t_1→0}\sum^{\infty}_{t_1=-\infty}f(t_1) \cdot \frac{u(t-t_1)-u(t-t_1-\Delta t_1)}{\Delta t_0} \cdot \Delta t_0\\\ &=lim_{\Delta t_1→0}\sum^{\infty}_{t_1=-\infty}f(t_1)\delta(t-t_1)\Delta t_1 \\\ &=\int^\infty_{-\infty}f(t_1)\delta(t-t_1)\mathrm d t_1\\\ &又因为冲激函数\delta(t)是偶函数，上式也可以写为\int^\infty_{-\infty}f(t)\delta(t-t_1)\mathrm d t,\\\ &这证明了冲激函数的筛选特性\\\ \end{aligned}$$

![[Excalidraw/Drawing 2025-02-26 22.51.37.excalidraw]]

阶跃信号分量

推导类似上文。
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-26 22.55.38.excalidraw]]

实部分量与虚部分量

类似偶分量与奇分量，这里利用共轭分解函数
表达式： $f(t)=f_r(t)+jf_i(t)$ ，共轭$f^*(t)=f_r(t)-jf_i(t)$

推导过程：

$$\begin{aligned} 定义f(t)=f_r(t)+jf_i(t),f^*(t)=f_r(t)-jf_i(t) \\\ 则f_r(t)=\frac{1}{2}\left[f(t)+f_r(t)\right],f_i(t)=\frac{1}{2}\left[f(t)-f_r(t)\right], \end{aligned}$$

正交函数分量

如傅里叶级数（三角函数是正交函数）

1.5系统模型及分类

模型

1.6线性时不变（LTI）

线性特性（叠加性，均匀性）

叠加性&均匀性

![[Excalidraw/Drawing 2025-02-27 23.36.57.excalidraw|600]]
![[Excalidraw/Drawing 2025-02-27 23.53.57.excalidraw|600]]

例：

$$\begin{aligned}&1.r(t)=e(t)+2 \\\ & 有 \left(对输出r(t)乘C\right)\quad Cr(t)=Ce(t)+2C\ne Ce(t)+2\quad\left(对输入e(t)乘C\right),\\\ &所以不满足均匀性\\\ &\\\ &2.\dfrac{\mathrm dr(t)}{\mathrm dt} +10r(t)+5=e(t)\\\ &有 \left(对输出r(t)乘C\right)\quad \dfrac{C\mathrm dr(t)}{\mathrm dt} +10Cr(t)+5\ne\dfrac{C\mathrm dr(t)}{\mathrm dt} +10Cr(t)+5C=Ce(t)\quad\left(对输入e(t)乘C\right),\\\ &所以不满足均匀性\\\ \end{aligned}$$

时不变性

时不变性：系统参数本身不随时间改变
若激励为 $e(t)$ ，产生响应 $r(t)$ ; 若激励为 $e(t+t_0)$ ，产生响应 $r(t+t_0)$

例：

$$\begin{aligned} &对于r(t)=te(t),若符合时不变性，则应有：\\\ &r(t+t_0)=(t+t_0)e(t+t_0)→r(\tau)=\tau e(\tau)\\\ &但将激励e(t)→e(t+t_0)，实际为te(t+t_0)，所以不符合时不变性 \end{aligned}$$

微分特性

微分特性：若系统在激励 $e(t)$ 作用下产生响应 $r(t)$ ，则当激励为 $\dfrac{\mathrm de(t)}{\mathrm dt}$ 时，响应为 $\dfrac{\mathrm dr(t)}{\mathrm dt}$
可以扩展到高阶导数与微分

因果性

因果系统：系统在 $t_0$ 时刻的响应只与 $t\le t_0$ 时刻（过去）的输入有关

信号与系统学习笔记——1绪论

1.1信号的描述，分类与典型示例

分类

典型信号示例

指数信号

正弦信号

复指数信号

Sa(t)信号（抽样信号）

钟形信号（高斯函数）

1.2信号的运算

移位

反褶

尺度变换

微分

积分

1.3奇异信号（斜变、阶跃、冲激）

单位斜变信号

表达式、关联与作用

单位阶跃信号

表达式、关联与作用

例题

单位冲激信号

表达式、关联与作用

例题

冲激偶信号

1.4信号的分解

直流分量与交流分量

偶分量与奇分量

脉冲分量

矩形窄脉冲分量

阶跃信号分量

实部分量与虚部分量

正交函数分量

1.5系统模型及分类

模型

分类

1.6线性时不变（LTI）

线性特性（叠加性，均匀性）

叠加性&均匀性

时不变性

微分特性

因果性