2.2 微分方程的建立（以RLC电路为例）

有元件的VI特性：
![[Excalidraw/Drawing 2025-03-01 13.03.00.excalidraw|800]]

例：对于如下电路，以 $I_S(t)$ 为激励源，列出 $v(t)$ 的表达式
![[Excalidraw/Drawing 2025-03-01 13.11.19.excalidraw]]
根据元件的VI特性，有：$$\begin{aligned}
&i_R(t)=\dfrac{1}{R}v(t)\qquad i_L(t)=\dfrac{1}{L}\int v(\tau)\mathrm d\tau \qquad i_C(t)=C\dfrac{\mathrm dv(t)}{\mathrm dt}\
&可列：I_S(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t)→I_S\prime(t)=\dfrac{1}{R}v\prime(t)+\dfrac{1}{L}v(t)+Cv\prime\prime(t)
\end{aligned}$$

2.3用时域经典法求解常系数微分方程

常系数微分方程（没有常数项！）：$$
C_0r^n(t)+C_1r^{n-1}(t)+...+C_nr(t)=E_0e^n(t)+E_1e^{n-1}(t)+...+E_ne(t)
$$
解由齐次解与特解组成，还需要借助初始条件求出待定系数，具体方法如下：

求齐次解

齐次解是 $e(t)$ 及其各阶导数均为0的情况，即令微分方程右侧为0，反映的是不受激励影响的固有频率
具体求解思路为：列写齐次方程→求解根→线性组合得出齐次解 $r_h(t)=\sum^n_{k=1} A_ke^{kt}$

这里以微分方程 $r\prime\prime(t)+3r\prime(t)+2r(t)=e(t)$ 为例，阐述求解步骤：$$\begin{aligned}&令右侧为0，可得r\prime\prime(t)+3r\prime(t)+2r(t)=0\
&因为涉及到高阶求导，如果所求函数的求导是其本身，会使计算变得简单\
&我们猜测r(t)=e^{at},则a^2e^{at}+3ae^{at}+2e^{at}=0，可得a^2+3a+2=0，即为\textbf{齐次方程}\
&易得解a_1=-1,a_2=-2,经线性组合可得齐次解r_h(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t}
\end{aligned}$$

若出现n重根，则通过乘 $t^n...t$ 进行区分

例：$$\begin{aligned}
&对于r\prime\prime\prime(t)+7r\prime\prime(t)+16r\prime(t)+12r(t)=e(t),有齐次方程:\
&a^3+7a^2+16a+12=(a+2)(a+2)(a+3)=0,解得根a_1=a_2=-2,a_3=-3\
&则有齐次解r_h(t)=(A_1t+A_2)e^{-2t}+A_3e^{-3t}\
& \
&对于更多重根同理，如三重根可写为(A_1t^2+A_2t+A_3)e^{at}
\end{aligned}$$

求特解

特解的形式与激励函数形式有关，是激励函数与其各阶导数的线性叠加，反映的是激励影响下的强迫响应
具体求解思路为：左侧代入特解函数式，右侧代入e(t)的表达式，通过系数比对解出
若特解与齐次解重复，参考齐次解中n重根的处理方法

例：$$\begin{aligned}
&对于r\prime\prime(t)+2r\prime(t)+3r(t)=e\prime(t)+e(t),已知e(t)=t^2\
&对于e(t)=t^2，有特解函数式r(t)=B_1t^2+B_2t+B_3,也代入等式中，可得\
&3B_1t^2+(4B_1+3B_2)t+(2B_1+2B_2+3B_3)=t^2+2t\
&进行系数比对:\begin{cases}3B_1=1\4B_1+3B_2=2\2B_1+2B_2+3B_3=0\end{cases}\
&解得:B_1=\dfrac{1}{3},B_2=\dfrac{2}{9},B_3=-\dfrac{10}{27},所以特解为r_p(t)=\dfrac{1}{3}t^2+\dfrac{2}{9}t-\dfrac{10}{27}
\end{aligned}$$

齐次解和特解相加，可得方程的完整解

借助初始条件求待定系数

初始条件：满足$r^k(0),k=0,1...n-1$ 的一组条件，即响应函数r(t)由本身到最高阶数-1的，t=0时的值

这里举一个完整的题目为例，描述整个求解过程

如图所示电路，已知激励信号 $e(t)=sin(2t)u(t)$ ，初始时刻电容端电压均为0，求输出信号 $v_2(t)$ 的表达式